台北、日月潭、阿里山、垦丁怎么安排行程呢？

各位好，想请教几个问题。
去台湾有10天行程。先飞到台北，然后计划的路线是这样，
台北——日月潭——阿里山——垦丁——花莲——台北。
就是来回都在桃园机场。研究了一顿，发现日月潭和阿里山这两个景点放在一起真心交通不方便
本来不想去日月潭的，因为看网上评论感觉现在没啥可看的，就是一个湖，但是考虑到带老人第一次来台湾，怎么说都要过来打个卡的，所以还是硬着头皮给加到行程里了。现在就是不知道该怎么安排路线。
我有几个考虑方案，不知道哪个可行：
1.我上午飞机到台北，想直接做高铁再转车去日月潭，然后在日月潭住一晚，第二天一大早做8点的车到阿里山，玩完之后晚上再做高铁到高雄再转去垦丁。但是这样就有一个问题，因为拖着行李箱，直接从日月潭到阿里山，难道要一直拖着行李走吗？而且不知道晚上赶不赶得到垦丁。
2.也是直接下了飞机就到日月潭，然后不在日月潭住，玩完直接去嘉义住一夜，然后早上坐小火车去阿里山，玩完再返回嘉义来做高铁去高雄再转去垦丁。但是不知道日月潭下午靠傍晚的时候还能不能有车去嘉义。
3、看了好多攻略说先去阿里山再去日月潭比较方便，不知道这个行程从台北出发的话该怎么安排啊？另外我下一站去垦丁的话，先去阿里再去日月潭是不是绕远了？
4.还是有别的更好的安排行程？请赐教！
5.还想问下从日月潭到阿里山那条路好多人说不安全，到底实际情况是怎样的？
P.S 因为只有我和妈妈两个人，所以包车不太划算，都尽量选公共交通。