九州交通问题

我们一家三人（小孩2岁）4月份去九州，具体交通安排如下：
4/10 福冈－由布院
4/12 由布院－久留米－熊本
4/13 熊本－福冈

想问一下：
1. 2岁的小孩是不是全程可以不用购票？
2. 4/10 上午博多到由布院的由布院之森，怕定不到票打算网上先预定；4/12下午由布院到久留米的行程是否可以到了日本再买，会否买不到？
3. 如果购买JR pass的话，由于4/10网上预定用不了JR pass，后面12-13日的行程购买8500的三日pass是否核算？
4. 还有个小问题，看到JR官网上的时刻表，列车有分yufuin no mori 和yufuin，这两个都是由布院之森吗？